小白详细讲授高速幂,三个整数是不是是

外人家的面试题:多个寸头是或不是是“4”的N次幂

2016/05/30 · 基础技术 ·
2 评论 ·
算法

正文笔者: 伯乐在线 –
十年踪迹
。未经小编许可,禁绝转发!
应接参预伯乐在线 专辑撰稿人。

这是 leetcode.com
的第二篇。与上一篇同样,大家切磋共同相对轻松的标题,因为上学总重申安分守纪。并且,就算是简单的难点,追求算法的无比的话,当中也可能有大学问的。

外人家的面试题:总结“1”的个数

2016/05/27 · JavaScript
· 5 评论 ·
Javascript,
算法

本文小编: 伯乐在线 –
十年踪迹
。未经笔者许可,禁止转发!
接待出席伯乐在线 专辑我。

小胡子哥 @Barret李靖
给本身引入了三个写算法刷题的地方
leetcode.com,没有 ACM
那么难,但难点很风趣。何况据书上说那一个主题素材都出自一些厂家的面试题。可以吗,解解外人公司的面试题其实很风趣,不只能整理思路磨练技巧,又并非顾虑漏题
╮(╯▽╰)╭。

长途电话短说,让大家来看一道题:

算法陶冶 数位分别 

Problem Description

“4”的大背头次幂

给定四个三11人有号子整数(32 bit signed
integer),写八个函数,检查这一个板寸是不是是“4”的N次幂,这里的N是非负整数。

例如:

  • 给定 num = 16,返回 true,因为 16 = 42
  • 给定 num = 5,返回 flase

叠合条件: 你可见不用循环和递归吗?

统计“1”的个数

给定二个非负整数 num,对于大肆 i,0 ≤ i ≤ num,总结 i
的值对应的二进制数中 “1” 的个数,将那个结果回到为三个数组。

例如:

当 num = 5 时,重临值为 [0,1,1,2,1,2]。

/** * @param {number} num * @return {number[]} */ var countBits =
function(num) { //在那边达成代码 };

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/**
* @param {number} num
* @return {number[]}
*/
var countBits = function(num) {
    //在此处实现代码
};

时刻限定:1.0s  内部存款和储蓄器限制:512.0MB

求A^B的最后二人数表示的大背头。
证实:A^B的意思是“A的B次方”

解题思路

假使马虎“附加条件”,那题还挺轻便的对吧?大概是随手拈来:

版本1

JavaScript

function isPowerOfFour(num){ while(!(num % 4)){ num /= 4; } return num
=== 1; }

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function isPowerOfFour(num){
    while(!(num % 4)){
        num /= 4;
    }
    return num === 1;
}

本子1 看似很简短、很强劲的指南,它的时日复杂度是
log4N。有同学说,仍是能够做一些细微的转移:

版本1.1

JavaScript

function isPowerOfFour(num){ while(!(num % 4)){ num >>>= 2; }
return num === 1; }

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function isPowerOfFour(num){
    while(!(num % 4)){
      num >>>= 2;
    }
    return num === 1;
}

上面的代码用位移代替除法,在别的语言中更加快,鉴于 JS
日常状态下十一分坑的位运算操作,不确定速度能变快。

好了,最器重的是,不管是 版本1 要么 版本1.1
就好像都不满足大家前面提到的“附加条件”,即不行使循环和递归,或然说,大家须要研究O(1) 的解法。

小白详细讲授高速幂,三个整数是不是是。依据规矩,大家先探究10分钟,然后往下看 ——


解题思路

那道题咋一看还挺轻易的,无非是:

  • 落到实处八个艺术 countBit,对任性非负整数
    n,总结它的二进制数中“1”的个数
  • 循环 i 从 0 到 num,求 countBit(i),将值放在数组中回到。

JavaScript中,计算 countBit 能够取巧:

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,””).length; }

1
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function countBit(n){
    return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;
}

地点的代码里,大家向来对 n 用 toString(2)
转成二进制表示的字符串,然后去掉个中的0,剩下的便是“1”的个数。

然后,大家写一下安然照旧的顺序:

版本1

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,”).length; }
function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums;
i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; }

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function countBit(n){
   return n.toString(2).replace(/0/g,”).length;
}
 
function countBits(nums){
   var ret = [];
   for(var i = 0; i <= nums; i++){
       ret.push(countBit(i));
   }
   return ret;
}

地点这种写法十三分收益,好处是 countBit 利用 JavaScript
语言特色实现得十一分简练,坏处是只要前日要将它改写成别的语言的版本,就有相当的大概率懵B了,它不是很通用,并且它的品质还在于
Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的贯彻。

所感觉了追求更加好的写法,大家有不可缺少考虑一下 countBit 的通用实现法。

咱俩说,求叁个整数的二进制表示中 “1” 的个数,最平时的本来是三个 O(logN)
的不二秘技:

function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret += n & 1; n
>>= 1; } return ret; }

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function countBit(n){
    var ret = 0;
    while(n > 0){
        ret += n & 1;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

所以我们有了版本2

那般达成也很简单不是啊?但是那样达成是不是最优?提出此处考虑10分钟再往下看。


付出此题   

 Input

永不循环和递归

事实上那道题真心有不菲种思路,总括指数之类的对数学系学霸们完全不成难点嘛:

版本2

JavaScript

const log4 = Math.log(4); function isPowerOfFour(num){ var n =
Math.log(num) / log4; return n === (0|n); }

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const log4 = Math.log(4);
function isPowerOfFour(num){
    var n = Math.log(num) / log4;
    return n === (0|n);
}

哦,通过对数公式 logm(n) = log(n) / log(m)
求出指数,然后判别指数是或不是一个平头,那样就能够毫不循环和递归解决难题。并且,还要小心细节,能够将
log4 充任常量收收取来,那样毫无每一遍都重复总结,果然是学霸范儿。

唯独呢,利用 Math.log
方法也毕竟某种意义上的违禁吧,有未有永不数学函数,用原生方法来解决吗?

本来有了!并且还不仅一种,大家能够持续想30秒,要最少想出一种啊 ——


更快的 countBit

上几个版本的 countBit 的岁月复杂度已经是 O(logN)
了,难道还足以越来越快吗?当然是能够的,大家无需去看清每壹位是否“1”,也能驾驭n 的二进制中有多少个“1”。

有一个渠道,是依赖以下一个定律:

  • 对于自由 n, n ≥ 1,有如下等式成立:

countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

1
countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

其一很轻易精晓,我们要是想转手,对于自由 n,n – 1 的二进制数表示正好是 n
的二进制数的最末三个“1”退位,由此 n & n – 1 正好将 n
的最末一个人“1”消去,比方:

  • 6 的二进制数是 110, 5 = 6 – 1 的二进制数是 101,6 & 5
    的二进制数是 110 & 101 == 100
  • 88 的二进制数是 101一千,87 = 88 – 1小白详细讲授高速幂,三个整数是不是是。 的二进制数是
    1010111,88 & 87 的二进制数是 1011000 & 1010111 == 1010000

于是乎,大家有了多少个更加快的算法:

版本3

function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret++; n &= n – 1; }
return ret; } function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i
<= nums; i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; }

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function countBit(n){
    var ret = 0;
    while(n > 0){
        ret++;
        n &= n – 1;
    }
    return ret;
}
 
function countBits(nums){
   var ret = [];
   for(var i = 0; i <= nums; i++){
       ret.push(countBit(i));
   }
   return ret;
}

上面的 countBit(88) 只循环 3 次,而“版本2”的 countBit(88) 却须要循环
7 次。

优化到了那几个程度,是否整个都得了了吗?从算法上来讲就像已是极致了?真的吗?再给我们30 秒时间动脑筋一下,然后再往下看。


标题呈报

输入数据富含多个测量试验实例,每一个实例占一行,由五个正整数A和B组成(1<=A,B<=10000),假诺A=0,
B=0,则意味输入数据的终止,不做管理。

不要内置函数

以此难点的主要思路和上一道题类似,先考虑“4”的幂的二进制表示:

  • 40 = 1B
  • 41 = 100B
  • 42 = 10000B
  • 43 = 1000000B
  • ……

也正是每一种数比上叁个数的二进制前边多两个零嘛。最要害的是,“4”的幂的二进制数唯有1 个“1”。如若留意阅读过上一篇,你就能够领悟,判定贰个二进制数唯有 1
个“1”,只需求:

JavaScript

(num & num – 1) === 0

1
(num & num – 1) === 0

但是,二进制数唯有 1
个“1”只是“4”的幂的须要非充裕标准化,因为“2”的奇数十次幂也唯有 1
个“1”。所以,大家还必要增大的推断:

JavaScript

(num & num – 1) === 0 && (num & 0xAAAAAAAA) === 0

1
(num & num – 1) === 0 && (num & 0xAAAAAAAA) === 0

何以是 num & 0xAAAAAAAA === 0? 因为这几个保障 num 的二进制的这一个 “1”
出现在“奇数位”上,也就确认保障了那么些数确实是“4”的幂,而不光只是“2”的幂。

皇家赌场手机版 ,末尾,我们获得完整的本子:

版本3

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { return num > 0 && (num & (num-1)) === 0
&& (num & 0xAAAAAAAA) === 0; };

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function isPowerOfFour(num) {
    return num > 0 && (num & (num-1)) === 0
                   && (num & 0xAAAAAAAA) === 0;
};

地点的代码要求加上 num > 0,是因为 0 要清除在外,不然 (0 & -1) === 0
也是 true


countBits 的时刻复杂度

考虑 countBits, 下面包车型客车算法:

  • “版本1” 的时光复杂度是 O(N*M),M 决计于 Number.prototype.toString
    和 String.prototype.replace 的复杂度。
  • “版本2” 的小时复杂度是 O(N*logN)
  • “版本3” 的时日复杂度是 O(N*M),M 是 N 的二进制数中的“1”的个数,介于
    1 ~ logN 之间。

地方四个版本的 countBits 的时辰复杂度都跨越 O(N)。那么有没临时光复杂度
O(N) 的算法呢?

实质上,“版本3”已经为大家提示了答案,答案就在上头的充足定律里,小编把那多少个等式再写叁回:

countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

1
countBit(n & (n – 1)) === countBit(n) – 1

相当于说,若是大家知道了 countBit(n & (n - 1)),那么大家也就清楚了
countBit(n)

而小编辈领悟 countBit(0) 的值是 0,于是,我们得以很简短的递推:

版本4

function countBits(nums){ var ret = [0]; for(var i = 1; i <= nums;
i++){ ret.push(ret[i & i – 1] + 1); } return ret; }

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function countBits(nums){
   var ret = [0];
   for(var i = 1; i <= nums; i++){
       ret.push(ret[i & i – 1] + 1);
   }
   return ret;
}

本来就那样轻巧,你想到了呢 ╮(╯▽╰)╭

如上正是具备的剧情,简单的难点考虑起来很风趣啊?技术员就活该追求完善的算法,不是吗?

那是 leetcode
算法面试题类别的率开始时期,下期我们谈谈另外一道题,这道题也很有意思:判定二个非负整数是还是不是是
4 的大背头次方
,别告诉本人你用循环,想想更抢眼的措施呢~

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打赏小编

  编写三个顺序,输入多个1000以内的正整数,然后把那几个莫西干发型的每一人数字都分离出来,并逐一地显示。

 Output

另外版本

上边的版本已经符合了大家的必要,时间复杂度是 O(1),不用循环和递归。

除此以外,大家还足以有其他的版本,它们严酷来讲有的依然“犯规”,不过大家依然得以学学一下那个思路:

版本4:用 Math.sqrt

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { num = Math.sqrt(num); return num > 0 &&
num === (0|num) && (num & (num-1)) === 0; };

1
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3
4
function isPowerOfFour(num) {
    num = Math.sqrt(num);
    return num > 0 && num === (0|num) && (num & (num-1)) === 0;
};

本子5:用正则表达式

JavaScript

function isPowerOfFour(num) { return /^1(00)*$/g.test(num.toString(2));
};

1
2
3
function isPowerOfFour(num) {
    return /^1(00)*$/g.test(num.toString(2));
};

如上正是颇有的源委,那道题有那些七种思路,卓越幽默,也正如考验基本功。如若你有投机的思绪,能够留言加入座谈。

上一期大家议论别的一道题,那道题比这两道题要难有的,但也更风趣:给定三个正整数
n,将它拆成最少七个正整数之和,对拆出的正整数求乘积,再次回到能够获取的乘积最大的结果

想一想你的解法是何许?你可知尽大概减少算法的光阴复杂度吗?期望你的答案~~

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  输入格式:输入独有一行,即二个1000以内的正整数。

对于种种测量试验实例,请输出A^B的末段四个人代表的平头,每一种输出占一行。

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  输出格式:输出只有一行,即该整数的每一人数字,之间用空格隔断。

  简单来说那题就是要求高次幂,有二种方法能够实现。

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皇家赌场手机版 8

  输入输出样例

  第一总相比土鳖,每一趟乘完对一千取余也能够过。

样例输入

  小编要讲的是第三种听上去很了不起上的秘籍——快速幂。为啥叫快快幂呢?因为用它求幂非常的慢,对于x^n,复杂度为O(logn),是或不是很吊!快捷幂的原理是把幂分解,把三个异常的大的幂分解成不大的几有的。举例:

769

11的二进制是1011

样例输出

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

7 6 9

因此,我们将a¹¹转化为 皇家赌场手机版 9

#include <stdio.h>

即把n化为2进制数,每一个为1的位都以很小的一某个。那样能够用多个周而复始来化解。上边是火速幂的非递归代码,权且忽略max

void getResult(int num)

int cal(int x, int n, int max){

{

  int sum = 1;    //最终输出的结果
  while (n > 0){   //当幂降为0是得了
  if (n &
1)      //位运算,&是按位与,当两侧都为1,表明式为1,这几个是用来剖断二进制数最终一个人是还是不是为1,这里n是以二进制的格局比较的

    //出口

    sum =
sum*x%max;//假如为1,sum将在乘x^i,i为该位在二进制数中的位置
  n >>=
1;      //>>为位运算符,右移壹人,即去掉已经计算过的一对
  x =
x*x%max;    //用来标识记录x^2^i,循环i次即去掉了i位,当第i+1位为1时,sum就要乘x^2^i;
  }
  return sum;//循环甘休再次回到结果。
}

    if(num<10)

  今后来说max的效应,用来把数变小的,我们能够想象要是是异常的大的数的非常高次方,乘一次后数据格外大不能用其他一个为主数据类型表示,而且那也是不供给的,常常我们只供给知道最后若干位的值,那就能够用到取余了,余数的幂和原数的幂在余数的位数上是同等的,所以每回举办乘法运算后都要取余,当然假设数额异常的小也得以不用取余。

    {

  好了,以为自个儿早已讲的很详细了!!真的是大力了。。。

        printf(“%d “,num);

上面贴上地点那题的代码

        return ;

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int cal(int x, int n, int max){
 5     int sum = 1;
 6     while (n > 0){
 7         if (n & 1)
 8             sum = sum*x%max;
 9         n >>= 1;
10         x = x*x%max;
11     }
12     return sum;
13 }
14 int main(){
15     int x, n;
16     while ((cin >> x >> n) && (x || n)){
17         cout << cal(x, n, 1000) << endl;
18     }
19     return 0;
20 }

    }

 

    //递归

      getResult(num/10);

 

  printf(“%d “,num%10);

}

int main()

{

  int n; 

  scanf(“%d”,&n);

  getResult(n);

  printf(“\n”);

  return 0;

}

思路深入分析:

①定义变量:二个低于1000的整数;

②输入整数;

③调用函数将每种数字分别:若是该数小于10,则输出;假设该数大于10,则用递归将其分手并出口。

算法锻练 6-2递归求二进制表示位数 

日子范围:10.0s  内部存款和储蓄器限制:256.0MB

交由此题   

主题材料叙述

  给定贰个十进制整数,重回其相应的二进制数的位数。举例,输入十进制数9,其对应的二进制数是1001,由此位数是4。

样例输入

叁个知足标题要求的输入圭臬。

9

样例输出

9

4

与地点的样例输入相应的输出。

数量规模和平公约定

  输入数据中每两个数的界定。

  例:输入在int表示范围内。

#include”stdio.h”

int main()

{

  long int n;

    int s=0;

    scanf(“%d”,&n);

    while(n!=0)

{

      s++;

      n=n/2;

}

printf(“%d\n”,s);

return 0;

思路剖判:

①定义变量:一个十进制整数,位数(开端化为0);

②输入十进制整数;

③循环直至该数为0跳出,位数加1,调换为二进制是该数被2整除;

④出口位数。

算法磨练 友好数 

时间限定:1.0s  内部存储器限制:256.0MB

付出此题   

标题陈说

  有多个整数,要是各样整数的约数和(除了它本身以外)等于对方,我们就称那对数是团结的。举个例子:

  9的约数和有:1+3=4

  4的约数和有:1+2=3

  所以9和4不是友好的。

  220的约数和有:1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110=284

  284的约数和有:1 2 4 71 142=220

  所以220和284是温馨的。

  编写程序,剖断三个数是或不是是友好数。

输入格式

  一行,七个整数,由空格分隔

输出格式

  假使是友好数,输出”yes”,否则输出”no”,注意不包罗引号。

样例输入

220 284

样例输出

yes

数码规模和预定

  四个整数都自愧比不上一千0

#include “stdio.h”

int fun(int n){

    int count=0,i;

    for(i=1;i < n;i++){

        if(n % i==0){

            count+=i;

        }

    }

    return count;

}

int main(){

    int num1,num2;

    int a,b;

    scanf(“%d%d”,&num1,&num2);

    b=fun(num1);

    a=fun(num2);

    if(a==num1 && b==num2){

        printf(“yes\n”);

    }

    else{

        printf(“no\n”);

    }

    return 0;

}

思路拆解分析:

①定义变量:多个整数;

②输入五个整数;

③调用函数:

(1) 定义变量:约数,约数和(开始化为0);

(2)for语句循环(从1起来,循环到该数),用if语句决断该数是或不是被约数整除余数为0,假设为0,则增加;

(3)再次来到值为约数和;

④if语句剖断是还是不是为团结数,如若是则输出yes,不不过为no。

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